漫谈集合比较：基数、测度与纲

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在现代数学中，比较集合的大小大致有三种衡量标准，基数（也称为势）、测度与纲（也有翻译成范畴的，但它不是代数中范畴！），分别是从集合、测度与拓扑的角度出发的。下面我先简述自己对这三种结构的理解，然后来比较一下这三者之间的区别与联系。

从集合出发的衡量标准就是基数，它是从计数活动自然推广出来的。对于有限集而言，它能够起到充分的区分效力，但对于一般的无穷集，尽管也有可数基数与连续基数（记作c）乃至更高阶基数的区别，但是从某种意义上来说还是比较模糊的。相信大家都听说过所谓的连续统假设，就是说在可数基数与连续基数之间有没有其他基数，它是完全独立于ZFC系统的。当然啦，在初级的实变函数研究中，只要能够区分可数基数与不可数基数似乎也已经足够了。

从测度出发的衡量标准就是测度，它是从测量活动自然推广出来的。很遗憾这里没有从语言上区分两种测度，其实第一个测度是指作为公理化测度结构的测度（可以类比于拓扑，有兴趣的参见Rudin的《实分析与复分析》第一章），第二个测度则是具体的Lebesuge测度（下文中的测度无特别声明均为Lebesgue测度）。对于有限集乃至可数集，测度的作用的软弱无力的（除非是重新定义计数测度），但对于与区间有关的集合（也包括区间的“无穷补”集——Cantor集），测度常常能够发挥非凡的作用。当然，这里的测度也不是太精细，它无法区分开与闭区间，也许有的读者能自己发明一些更加精致的测度结构。

从拓扑出发的衡量标准就是纲，这里面似乎没有什么简明的动机，只是依靠是否能够表示为无处稠密集的可数并，来区分为第一纲集与第二纲集两个等级。或许，Rudin在他的《泛函分析》教材中的一段不失幽默的评述相当能够说明问题：“这个术语（属于Baire）是公认的平淡无味和缺少启发性的，在某些教科书中采用贫乏集和非贫乏集来代替。但是‘纲推理'是这样牢固地置身于数学文献之中并且如此著名以致于使坚持要改变它的努力看起来是徒劳的”。事实上，泛函分析中的很多基本定理都以纲推理为基础，以此可以证明很多似乎是令人意外的经典结论，比如在连续函数空间中，处处不可微的函数是第一纲集的补集，其Fourier级数发散的函数同样也是第一纲集的补集，因此它们都是（大量）存在的，与之相类似的一个推理就是通过代数数的可数性说明超越数的（大量）存在。但我总觉得像这样的存在性证明，实在是一件非常浪费感情的事情。

下面来比较这三种衡量标准之间的关系，主要是看在一个标准下处于劣势的小集，能不能成为另一个标准中的大集。先来比较基数与测度的关系，一个显然的结论就是有限集与可数集都是零测的。但反过来，零测集却可以有连续的基数c，典型例子就是标准Cantor集。它是把区间[0,1]三等分，然后挖掉中间的1/3开区间，然后再把剩下来的各个区间三等分后挖中间，愚公挖洞直到永远，那么剩下来的部分就是Cantor集。计算一下挖掉的部分，可以发现它恰好就是1，因此剩下来的部分是零测的；同时它又可以对应于不取1的三进制小数，因此可以说明它的基数是连续基数c.这样的Cantor集是不包含区间的（不然还有继续挖的余地），但是假若稍微少挖一点，那么也可以有正测度，而且能让这里的正测度取[0,1)中的任何数。

涉及纲的问题要稍微复杂一点，一般在函数空间中才能起到作用，这时要定义测度就比较困难了。上面提到处处不可微的函数的补集是第一纲集，那么在某点可微的函数集必须是第一纲的，这样的连续函数在可微点之外是任意的，因此至少就有不可数基数。反过来，假若只有可数的基数，那么在通常的拓扑之下，单点集显然就是无处稠密的，因此它必为第一纲集。

一般的函数空间是无穷维的，要定义测度是非常困难的事情，因此我们只能选择在直线上讨论纲与测度的关系。对此有一个特别有趣的定理，说实数轴（取通常的测度与拓扑）可以分解第一纲集A与零侧集B的不交并（两个废物合起来就是全部！），它的平凡推论就是第一纲集的测度可以是无穷，而零测集也可以是第二纲的。我们可以如此来构造这样的A与B：把全体有理数集记为{qi}，以各qi为中心取长为2^(-i-j)的区间Ii,j，可令Gj=∪Ii,j,B=∩Gj，则B就是零测的；同时，A=R\B=∪(R\Gj)，而R\Gj是不包含任何有理数的闭集，因此就是无处稠密的，这样A也就是第一纲集了。这样的构造可以看成是证明有理数集零测的一个强化版。